“我精明到它产生了一种我以前从未见过的组合嵌入效果三隅 倫 巨乳，”他说，“这是一种辣手的小瓷砖。”
他向志趣迎合的好友、加拿大滑铁卢大学的计算机科学家Craig Kaplan形容了我方的作品，令后者意志到某种可能性。
Smith和Kaplan随后又邀请另两位盘考东说念主员——好意思国国度数学博物馆和阿肯色大学的数学家Chaim Goodman-Strauss和英国剑桥的软件工程师Joseph Samuel Myers——加入他们的团队。
领有组合数学宗旨博士学位的Myers坐窝将悉数业余时刻参加到对帽子形瓷砖的分析上，并在短短一周多的时刻里，给出了枢纽性的融会历程。
Kaplan说：“看到他如斯赶快地惩办一切，咱们王人感到异常战抖。”
2023年3月20日，这支4东说念主团队认真向数学界宣告，他们找到了所谓“Einstein问题”的解：
Smith发现的帽子形瓷砖，以及由帽子形瓷砖联贯变换生成的瓷砖族（剔除少数几个例外），沿途王人是不错非周期密铺全平面的单一体式瓷砖。
［为什么叫“Einstein（爱因斯坦）”问题，且看后文。］
用“帽子”非周期密铺全平面。丨图源：@[email protected]
一时通盘数学界王人为之振荡。要知说念，在畴昔半个世纪里，数学家连一块不错非周期密铺全平面的单一体式瓷砖王人未能找到，闭幕Smith等东说念主在不到半年的时刻里，找到了无尽多组。
相通令数学界匪夷所念念的事情是，看成他们盘考起初的帽子形瓷砖，居然是一个如斯平平无奇的十三边形。
形如帽子的瓷砖 | 图源: @[email protected]
何况，包括上头4位作念出了迫切发现确当事东说念主，其时惟恐莫得东说念主能够猜想，就在两个月后，他们将再次轰动数学界。
非周期密铺与Einstein问题
Tiling，一般译作铺砌，平铺或者密铺，是组合数学界限里的一个大的分支。
马虎便是用某些体式单元，无弱点且不叠加地掩饰住某个几何区域——不错是平面，也不错是空间；只不外对于后者，用于密铺的单元从二维瓷砖变成了三维或更高维的“积木”。
比如说，咱们不错很“纯粹”地用单元正方形瓷砖密铺二维平面。天然，现实操作是不现实的，但数学念念维赋予了咱们一种开脱的可能性，让咱们能够从感性上体悟到，天然达成它的历程需要无尽的时刻，但用单元正方形瓷砖密铺二维全平面，骨子上是纯粹的。
近似于，直线是线段向两个方进取无尽延长而来，而咱们确乎不错把抓直线这个触及无尽的见解，并把它看成平面几何的基础。
如若再略加念念考，咱们还不错发现正六边形相通不错密铺平面。近似地，正三角形也不错。底下的密铺属于周期性密铺里最纯粹、最彰着的实例。
好看的日本av咱们将要先容的Einstein问题，则属于aperiodic tiling——民风上译作“非周期密铺”。
所谓“非周期密铺“，指使用的那组瓷砖在密铺的同期，要保证拼接成的嵌入图案不具有周期性。
可想而知，正方形和正六边形瓷砖只可周期性地密铺平面，而作念不到非周期性密铺。
凭借直观也很容易猜想，能够非周期密铺平面的那些瓷砖应该具有不合称的特点，就如前边提到的帽子形瓷砖。
此处需要证实的是，咱们这里所说的图案不具有周期性的含义是，当笃定所使用瓷砖的体式之后，无论如何搭配、组合、野心，王人永恒无法制造出全局性的周期性图案，这智商叫作非周期密铺，而许多密铺（瓷砖类）是周期性和非周期性同期存在的。
因此咱们不错把aperiodic tiling翻译成“骨子非周期密铺”，即悉数莫得周期性存在的密铺。以下如未经证实，说起的“非周期密铺”均指“骨子非周期密铺”。
数学家之是以对非周期性作念出了如斯严格的界说，一是为了扼杀一些过于凡俗且无趣的几何结构，二则是和非周期密铺的历史发祥关联。
历史上首位系统性盘考非周期密铺的数学家，是隆起的华侨数理逻辑学家王浩。
在盘考图灵可计算函数的时候，王浩发现，某个可判定人命题与非周期密铺密切关联。他一度尝试融会如下揣度：若是对某类瓷砖存在（一般意旨上的）非周期密铺，那么也一定存在周期性的密铺。
可是不久后，王浩的学生Robert Berger构造出了反例，他用20426种不同的瓷砖构造了骨子上的非周期密铺——无论如何重新铺排，王人不会出现周期性结构。
而后，数学家对骨子非周期密铺取舍了赓续的矜恤度。数学界渴慕了解，是否不错用更少种数指标瓷砖集构造出非周期密铺。
其后的东说念主们得胜缩小了20426这个数字，变成了含92种的瓷砖集，然后是6种，临了是2种，即着名的彭罗斯瓷砖，后者来自其后的诺贝尔奖物理学奖得主罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）。
图源：https://math.berkeley.edu/~kpmann/penrose reading.pdf
对于骨子非周期密铺三隅 倫 巨乳，上一次关键的发现要回顾到1974年，数学家罗杰·彭罗斯发现的彭罗斯菱形密铺：使用了一种风筝（浅黄）和一种飞镖（红）。技艺细节：需要对图案作念少量点小篡改来幸免造成右侧的菱形（全等的菱形天然不错周期性铺满平面），以知足骨子“非周期密铺”的界说。
那么，是否还不错把数字降到1呢？
这便是着名的Einstein问题了：是否存在单一体式的瓷砖，可用它非周期密铺通盘平面？
这里的Einstein，和那位着名的物理学家并无关系，单纯是德国几何学家Ludwig Danzer的双关语打趣：在德语里“ein stein”的道理是“一块石头”。
面前回到故事开首，在2023年3月末，David Smith，Joseph Samuel Myers，Craig S. Kaplan和Chaim Goodman-Strauss为Einstein问题画上了句号。
但故事并莫得收尾。
艺术、灵感与临了一块拼图
现实上，Smith等东说念主在使用帽子形瓷砖非周期密铺时，需要用到帽子形的镜像对称版瓷砖。在现时的语境下，咱们默许，两个镜像对称的瓷砖，是吞并种、吞并体式的瓷砖。
上头悉数瓷砖体式王人琢磨（王人是所谓的帽子）。关联词，可借助染色揭示一些结构：深蓝色瓷砖和其它瓷砖是镜像对称的。每个深蓝色瓷砖王人以琢磨的形状被其他三个浅蓝色包围。丨图源：@[email protected]
就像左、右手是镜像对称的，无法通过旋转和平移达成支配手的重合。两个镜像对称的瓷砖相通不行通过旋转和平移振荡成互相。既然如斯，它们确实能叫“单一”瓷砖吗？
在数学界普遍认同了Smith等东说念主的闭幕后，一个新的问题坐窝浮出了水面：能否找到不借助镜像对称，仅通过旋转和平移，达成非周期密铺的真实单一体式的瓷砖？
其时悉数东说念主王人以为，这个后续问题惟恐十分艰辛，莫得东说念主生机能在近期作念出冲突。更莫得东说念主能够猜想谜底就辞世东说念主的眼皮底下……
北京时刻2023年5月30日凌晨，David Smith，Joseph Samuel Myers等4东说念主发布了一篇23页的新论文Achiral aperiodic monotile（之前对于“帽子”形瓷砖论文长达89页），文牍他们找到了最终的谜底。
他们找到了不借助镜像对称，仅通过旋转和平移不错非周期密铺的真单一体式的瓷砖，他们将其定名为“Spectre”（姑且翻译成“幽魂”）。
神奇又纯粹的幽魂瓷砖，是一个严格手性非周期单形，也便是说，它只可用平移和旋转来拼成莫得重复图案的平铺；即便你想用镜像反射的瓷砖，也用不了。丨图源：@[email protected]
Kaplan在上传论文后余味无穷，又鼎沸地在数学聚积社区mathstodon共享了他们最新责任的多数细节，包括灵感来源、念念考形状和融会念念路等等。
如前文所述，他们发现的不是知足Einstein问题的独逐个个瓷砖单形，而是一组无尽的瓷砖集，集聚里的多边形瓷砖王人不错知足Einstein问题——当构造出知足条款的帽子后，他们通过高深地救助帽子的边，生成的近似图形也知足条款。
Kaplan等东说念主发现，在一定例则下，这些多边形瓷砖的体式其实可被其中两条边的边长独一决定。他们因此用Tile (a, b)来暗意这些多边形，a和b是特定边长的数值。
按照这种暗意法，帽子便是Tile (1, √3)。此外Tile (√3, 1) 也口舌常受矜恤的一种构型，它还有一个浅显的名字——海龟（参考其直不雅外形）。海龟也能达成非周期密铺。对于Tile (a, b) ，当a和b在一定范围内联贯变化时，得到的瓷砖构型总口舌周期密铺的。
另一方面不错融会，边长全等的多边形Tile (1, 1) 是一个显耀的例外，在之前仿帽子瓷砖的构造形状里（使用了镜像对称的瓷砖），它不是骨子非周期的。
可是仅凭上头的常识，还无法带来冲突。冲突的灵感来自全然出东说念主预感的艺术界限。
日本的嵌入艺术家、平面和立体安装野心师荒木義明（Yoshiaki Araki）对由帽子系列繁衍出的瓷砖嵌入和密铺图案异常感酷好。他共享了一个演示按次，不错泄漏瓷砖Tile (1, 1.01) 的平铺效果。
4东说念主组里的David Smith天然没稀有学责任和教化的配景，但对几何拼图的直观异常之好（不要健忘，恰是他当先想出了帽子形）。当他看到荒木義明的演示按次的时候，敏感地察觉到，瓷砖Tile (1, 1) 简略还有可被进一步挖掘的性质。
一朝找准了宗旨，似乎一切王人豁然普遍。他们发现，原本临了的谜底就在我方的手边：若是只允许通过平移和旋转来铺设瓷砖，那么Tile (1, 1) 能非周期密铺！
一启动之是以Tile (1, 1) 不得胜，是因为他们把它放到了和帽子形同等的允许镜像对称的成就里。若是闭幕镜像对称Tile (1, 1) 的使用，反而能达成非周期密铺！
他们称Tile (1, 1) 为“弱保手性非周期性单瓷砖”。因为若是要求加入镜像对称的瓷砖，则其势必不是骨子非周期性的！这也便是“弱手性”里“弱”的含义。
到此为止，他们真实找到了不借助镜像对称，仅通过旋转和平移，达成非周期密铺的单一体式的瓷砖。
但几位数学家还未知足。
他们试图找到一种“强保手性非周期性单瓷砖"，简陋上是说，即便允许加入镜像对称的瓷砖，你也用不上！要想密铺平面，咱们只可用单一手性的瓷砖，且势必非周期的。
他们哄骗Tile (1, 1) 等边的浅易属性，如下图一样私密地修改其边际，便得到了Spectre，“幽魂”。
图源：参考文件[3]
为了融会“幽魂”知足条款，最启动的时候，他们一度以为在“幽魂”上作念计算会很有挑战性，因为它们不像之前的帽子和海龟——“幽魂”不是多边形。但Joseph发现，“幽魂”的每一种平铺王人等价于帽子和海龟的搀和平铺，这让他们不错在风筝网格这个漂亮的梗阻寰宇中责任。
他们融会“幽魂”不错拼成一个分层替代系统，也便是说，在职何由“幽魂”造成的平铺中，每个“幽魂”王人包含在一个无尽的、独一的、越来越大的超等块（supertile）的端倪结构中。
超等块是由多个“幽魂”按照一定的王法组合而成的更大的体式。这种分层替代系统保证了“幽魂”的非周期性，亦即它不可能造成有重复单元的平铺。
这里的“替代平铺”技艺的严格界说，就连该界限的人人也很难明晰表述，但它的骨子念念路却异常好懂：用一组王法来把小块拼成大块，然后再把大块按摄影同的王法拼成更大的块，依此类推，最终造成一个掩饰通盘平面的图案。替代平铺无意也不错用来界说非周期密铺。
替代平铺技艺，用多个小块拼成相似的大块。丨图源：arXiv: https://arxiv.org/abs/2305.17743.'>https://arxiv.org/abs/2305.17743.
这支4东说念主团队给他们刚刚解决的问题定名为 “Vampire Einstein”问题。这又是什么道理呢？
Vampire本意是克扣者，别传克扣者在镜子里是莫得影像的。是以，上头的俏皮话翻译过来，便是“莫得镜像的Einstein问题”。
念念考·补记
David Smith等东说念主的论文提交还不太久，其正确性尚需一段时刻的严格审核。不外像这种径直构造出具体对象的数学盘考，常常短时刻内就足以判断出其正确与否。面前看来，数学界照旧认同了他们的论断。
早在3月末他们发布第一篇Einstein问题的论文的时候，就引来了平时的矜恤。矜恤者不单是是数学责任者，还包括多数的艺术家。除了平面野心艺术家和拼图疼爱者除外，以致有作曲家尝试把达成非周期密铺的算法振荡成旋律，实验某种新式音乐局势。
2023年7月20日，笔者爱慕地发现，爱尔兰着名啤酒品牌white hag，推出了一款应用非周期性瓷砖“帽子”野心包装的啤酒罐。丨图源：作家供图
这种平时的矜恤，最终给数学的发展带来了出东说念主预感的克己——临了的融会恰是受到了日本艺术家荒木義明的作品的启发。
面前除了论文的几位作家除外，最得意的便是这位日本艺术家了。他在论文发出一天后，异常答允性在支吾媒体上共享了论文的截图，因为几位作家把他的名字放到了致谢里。
另一个值得念念考的是，看成业尾数学疼爱者的David Smith在这一关键数学推崇里所起到的枢纽作用。
事实上，这远不是业余疼爱者第一次在拼贴几何界限得回关键冲突。
担任邮件分拣员的Robert Ammann在 1970 年代安逸发现了几种非周期性密铺，以及一种名为Ammann bars的非周期性密铺的系统生成按次；
1975 年，加州家庭主妇Marjorie Rice 发现了一个新的五边形瓷砖族；随后Joan Taylor发现了其后着名的Socolar-Taylor瓷砖。
以至于有位数学家开打趣说，在一个具体数学界限里（这里的“具体数学”是和“应用数学”近似的提法，是一个门类。指对象直不雅可见的以及和计算机关联的数学内容），也许业余疼爱者与工作数学家最大的不同之处在于，前者“并不需要知说念这个问题有多难”，是以智商作念出出乎意想的精彩发现。
这里索性给人人留一个念念考题，一个骨子上不需要任何数学常识就能解答的经典骨牌平铺问题：
临了，对于密铺，还有好多值得一说的东西。比如，天然这一次珍藏先容的口舌周期密铺，但并不料味着周期性密铺是个卑不足说念的课题。直到2015年，数学家才借助计算机发现了第15种亦然临了一种不错进行周期性密铺的五边形，从而找到了沿途的周期性单密铺多边形。
周期性密铺和非周期密铺，就好比有理数和颠倒数。天然有理数确乎相对于颠倒数要纯粹，但仍有多数未知内容尚待挖掘。
此外，除了平面密铺，高维空间上的非周期密铺也有好多值得一提的闭幕。如2022年11月，陶哲轩（Terence Tao）和Rachel Greenfeld文牍推翻了一个高维空间上的“周期性密铺揣度”。就Einstein问题瓷砖而言，也有所谓的三维Einstein问题瓷砖（如下图）。
图源：Socolar–Taylor tile Wikipedia
非周期密铺在好多数学界限王人有迫切的应用和盘考价值，比如自动机表面、组合数学、梗阻几何、能源系统、群论、调处分析和数论，以及晶体学和化学。
其中在晶体和化学上最有名的应用，是在表面上为准晶体的结构和性能提供数学和物理上的解释。（若是过后诸葛亮的话，咱们以致不错说，非周期密铺揭示了准晶体的存在性——只不外在天然界里发现准晶体之前，并未有东说念主意志到这少量。）非周期性密铺和准晶体之间的关系是一个进取数学、物理、化学、材料等多个界限的精彩话题。
参考文件
[1] Hobbyist Finds Math’s Elusive ‘Einstein’ Tile | Quanta Magazine
[2] Craig S. Kaplan (@[email protected]) - Mathstodon
[3] Achiral aperiodic monotile，https://arxiv.org/abs/2305.17743
[4] Anaperiodic monotile，https://arxiv.org/pdf/2303.10798.pdf
[5] David Smith使用的软件（PolyForm Puzzle Solver (jaapsch.net)）：https://www.jaapsch.net/puzzles/polysolver.htm
[6] Craig S. Kaplan共享的用具：https://cs.uwaterloo.ca/~csk/spectre/三隅 倫 巨乳